कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = \frac{5}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.2.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.2.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{- 1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ है.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

चरण 1.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

चरण 1.4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.4.3.2

$- 2$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

चरण 1.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

चरण 1.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.5

$x = 4$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.2

$2$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.2.2.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.3.2

घातांक को ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.6.1.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.6.1.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

चरण 1.6.1.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

चरण 1.6.1.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

चरण 1.6.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

चरण 1.6.2

$\frac{1}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 1.6.3

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

चरण 1.6.3.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

चरण 1.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

चरण 1.6.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{8}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{8}$ और दिए गए बिंदु $(4, \frac{5}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.5.2

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{5}{2}$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

चरण 2.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

चरण 2.3.2.3

$- 1$ और $5$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

चरण 2.3.2.4

$4$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x}{8} + 2$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{8} x + 2$

चरण 3