कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - 1$ और $y = 0$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

चरण 1.1.2

$\frac{x}{2}$ और $\ln (x^{4})$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x^{4})$ है.

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{4}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{1}{x^{4}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2

$x$ और $x^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.3.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$4$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.2

$\frac{4}{x^{3}}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.3

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.3.2

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

चरण 1.4.6

$\ln (x^{4})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

चरण 1.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

चरण 1.5.2.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

चरण 1.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

चरण 1.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

चरण 1.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

चरण 1.5.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

चरण 1.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

चरण 1.5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (x^{4})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

चरण 1.5.4.2

$4$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{4})$ का प्रसार करें.

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

चरण 1.5.4.3

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1

$4 \ln (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

चरण 1.5.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

चरण 1.5.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

चरण 1.5.4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

चरण 1.5.4.3.2.4

$2 \ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \ln (x) + 2$

चरण 1.6

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$2 \ln (- 1) + 2$

चरण 1.7

एक ऋणात्मक संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

चरण 2

रेखा का ढलान अपरिभाषित है, जिसका अर्थ है कि यह x-अक्ष पर $x = - 1$ पर लंबवत है.

$x = - 1$

चरण 3