कैलकुलस उदाहरण

${(x - y - 1)}^{3} = x$ ; $(1, - 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = - 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - y - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - y - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

चरण 1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - y - 1$ से बदलें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

चरण 1.2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

चरण 1.2.5

$1 - y'$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

चरण 1.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

चरण 1.2.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

चरण 1.2.6.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

चरण 1.3

$1$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

गुणनखंडों को $3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

चरण 1.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 {(x - y - 1)}^{2}$ घटाएं.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

चरण 1.5.3

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.2.2

${(x - y - 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1

$\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3.2

$\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.5.3.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $3 {(x - y - 1)}^{2}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.3.1

$\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ को $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.5.3.3.3.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.5.3.3.3.3

$\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ को $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

चरण 1.5.3.3.3.4

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3.5

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3.6

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3.7

$3 {(x - y - 1)}^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3.8

$- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.3.3.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.7

$x = 1$ और $y = - 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{1 - 3 {((1) - y - 1)}^{2}}{3 {((1) - y - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $- 1$ से बदलें.

$- \frac{1 - 3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}{3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1 - 3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1 - 3 {(2 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.3.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.3.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.3.5

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1 - 3}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.3.6

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- \frac{- 2}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{- 2}{3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.4.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{- 2}{3 {(2 - 1)}^{2}}$

चरण 1.7.4.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1^{2}}$

चरण 1.7.4.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1}$

चरण 1.7.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{- 2}{3}$

चरण 1.7.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{2}{3}$

चरण 1.7.6

$- - \frac{2}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{2}{3})$

चरण 1.7.6.2

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{2}{3}$ और दिए गए बिंदु $(1, - 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- 1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + 1 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4

$\frac{2}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.5

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$\frac{2}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

चरण 2.3.1.5.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

चरण 2.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1$

चरण 2.3.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 2.3.2.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 3}{3}$

चरण 2.3.2.5.2

$- 2$ में से $3$ घटाएं.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

चरण 2.3.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{5}{3}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

चरण 3