कैलकुलस उदाहरण

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{4} + x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

चरण 1.2.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

चरण 1.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} + 12 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 1.3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 1.3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 1.3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 1.3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 y y' + 12 \cdot 1$

चरण 1.3.3.3

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y y' + 12$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y y'$ घटाएं.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

चरण 1.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

चरण 1.5.3

$4 y^{3} y' - 2 y y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$4 y^{3} y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

चरण 1.5.3.2

$- 2 y y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

चरण 1.5.3.3

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

चरण 1.5.4

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y (2 y^{2} - 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y (2 y^{2} - 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.2.3

$2 y^{2} - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1.1

$12$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1.1.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1.1.2.1

$2 y (2 y^{2} - 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.5.4.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.7

$x = 0$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$2 \cdot 1^{2} - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.2.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.3

$6$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.6

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

चरण 1.7.3.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.7.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

चरण 1.7.3.7.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

चरण 1.7.3.7.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

चरण 1.7.3.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - \frac{0}{2}$

चरण 1.7.3.9

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$6 - 0$

चरण 1.7.3.10

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$6 + 0$

चरण 1.7.4

$6$ और $0$ जोड़ें.

$6$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $6$ और दिए गए बिंदु $(0, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 1 = 6 x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = 6 x + 1$

चरण 3