कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} = x^{3} - 4 x + 1$ at $(- 2, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - 2$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 1)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y'$

चरण 1.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 4 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.3.2.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.3.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} - 4 + 0$

चरण 1.3.3.2

$3 x^{2} - 4$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 4$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$

चरण 1.5

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

चरण 1.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

चरण 1.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

चरण 1.5.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

चरण 1.5.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

चरण 1.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

चरण 1.5.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1.2.1

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

चरण 1.5.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

चरण 1.5.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 2}{y}$

चरण 1.5.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

चरण 1.7

$x = - 2$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

${(- 2)}^{2}$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1.1

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.1.2

उत्पाद नियम को $- 1 (2)$ पर लागू करें.

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.1.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.1.4

$2^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.1.5

$3 \cdot 2^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.1.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.1.6.3

$3 \cdot 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 \cdot 2 - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 - \frac{2}{1}$

चरण 1.7.3.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 - 1 \cdot 2$

चरण 1.7.3.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$6 - 2$

चरण 1.7.4

$6$ में से $2$ घटाएं.

$4$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $4$ और दिए गए बिंदु $(- 2, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = 4 \cdot (x - (- 2))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$4 \cdot (x + 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x + 2)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = 4 x + 4 \cdot 2$

चरण 2.3.1.4

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$y - 1 = 4 x + 8$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = 4 x + 8 + 1$

चरण 2.3.2.2

$8$ और $1$ जोड़ें.

$y = 4 x + 9$

चरण 3