कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{5 x + 75}$ , $(5, 10)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 5$ और $y = 10$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{5 x + 75}$ को ${(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 5 x + 75$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x + 75$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x + 75$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

चरण 1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x + 75$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [75]$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [75])$

चरण 1.9

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [75])$

चरण 1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [75])$

चरण 1.11

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [75])$

चरण 1.12

चूंकि $x$ के संबंध में $75$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $75$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

चरण 1.13

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1

$5$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

चरण 1.13.2

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.14

$x = 5$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{5}{2 {(5 (5) + 75)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.1.1

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{5}{2 {(25 + 75)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15.1.2

$25$ और $75$ जोड़ें.

$\frac{5}{2 \cdot 100^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15.1.3

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{5}{2 \cdot {(10^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.15.1.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 10^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.15.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5}{2 \cdot 10^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.15.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5}{2 \cdot 10^{1}}$

चरण 1.15.1.6

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{5}{2 \cdot 10}$

चरण 1.15.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.2.1

$2$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{5}{20}$

चरण 1.15.2.2

$5$ और $20$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.2.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 (1)}{20}$

चरण 1.15.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.15.2.2.2.1

$20$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}$

चरण 1.15.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}$

चरण 1.15.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{4}$ और दिए गए बिंदु $(5, 10)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (10) = \frac{1}{4} \cdot (x - (5))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 10 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x - 5)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 10 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 10 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 10 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 5$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 10 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 5$

चरण 2.3.1.5

$\frac{1}{4}$ और $- 5$ को मिलाएं.

$y - 10 = \frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}$

चरण 2.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - 10 = \frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $10$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 10$

चरण 2.3.2.2

$10$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 10 \cdot \frac{4}{4}$

चरण 2.3.2.3

$10$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 10 \cdot 4}{4}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$10$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 40}{4}$

चरण 2.3.2.5.2

$- 5$ और $40$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{4} + \frac{35}{4}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{4} x + \frac{35}{4}$

चरण 3