कैलकुलस उदाहरण

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = \frac{π}{4}$ और $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

चरण 1.2.4

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (3 x)$

चरण 1.3

$x = \frac{π}{4}$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$3$ और $\frac{π}{4}$ को मिलाएं.

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

चरण 1.4.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

चरण 1.4.3

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 1.4.4

$- 3$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

चरण 1.4.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ और दिए गए बिंदु $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

चरण 2.3.1.4

$x$ और $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

चरण 2.3.1.5

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

चरण 2.3.1.5.2

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

चरण 2.3.1.5.3

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ को $\frac{π}{4}$ से गुणा करें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

चरण 2.3.1.5.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

चरण 2.3.1.6

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{\sqrt{2}}{2}$ घटाएं.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 2.3.3.2

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

चरण 2.3.3.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

चरण 2.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

चरण 2.3.3.4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

चरण 2.3.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

चरण 2.3.3.6

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

चरण 3