कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(5 x + 1)}^{2}$ को $(5 x + 1) (5 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

चरण 1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(5 x + 1) (5 x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

चरण 1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

चरण 1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

चरण 1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

चरण 1.3.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

चरण 1.3.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

चरण 1.3.1.3

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

चरण 1.3.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

चरण 1.3.1.5

$5 x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

चरण 1.3.1.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

चरण 1.3.2

$5 x$ और $5 x$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

चरण 1.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $25 x^{2} + 10 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.5

चूंकि $25$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $25 x^{2}$ का व्युत्पन्न $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.7

$2$ को $25$ से गुणा करें.

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.8

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 x$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.10

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.11

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$50 x + 10 + 0$

चरण 1.12

$50 x + 10$ और $0$ जोड़ें.

$50 x + 10$

चरण 1.13

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$50 (0) + 10$

चरण 1.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.14.1

$50$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 10$

चरण 1.14.2

$0$ और $10$ जोड़ें.

$10$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $10$ और दिए गए बिंदु $(0, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 1 = 10 x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = 10 x + 1$

चरण 3