कैलकुलस उदाहरण

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(4, 4)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

${(x + 2)}^{2}$ को $(x + 2) (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.3.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.3.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.3.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

चरण 1.2.4

${(y - 3)}^{2}$ को $(y - 3) (y - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

चरण 1.2.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(y - 3) (y - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

चरण 1.2.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

चरण 1.2.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

चरण 1.2.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

चरण 1.2.6.1.2

$- 3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

चरण 1.2.6.1.3

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

चरण 1.2.6.2

$- 3 y$ में से $3 y$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

चरण 1.2.7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.8

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.8.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.8.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.10

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.10.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.10.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.10.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.11

$\frac{d}{d x} [- 6 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 y$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.11.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.12

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

चरण 1.2.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.13.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.13.1.1

$2 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

चरण 1.2.13.1.2

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

चरण 1.2.13.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $37$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $37$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x$ घटाएं.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

चरण 1.5.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

चरण 1.5.2

$2 y y' - 6 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$2 y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

चरण 1.5.2.2

$- 6 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

चरण 1.5.2.3

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

चरण 1.5.3

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ के प्रत्येक पद को $2 (y - 3)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ के प्रत्येक पद को $2 (y - 3)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.2.2

$y - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1.1

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1.1.1

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.3.1.3

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1.3.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.3.3.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

चरण 1.5.3.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

चरण 1.5.3.3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

चरण 1.5.3.3.2.2

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

चरण 1.5.3.3.2.3

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

चरण 1.5.3.3.2.4

$- (x) - 1 (2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

चरण 1.5.3.3.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.2.5.1

$- (x + 2)$ को $- 1 (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

चरण 1.5.3.3.2.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

चरण 1.7

$x = 4$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$- \frac{(4) + 2}{y - 3}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $4$ से बदलें.

$- \frac{(4) + 2}{(4) - 3}$

चरण 1.7.3

$4$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{6}{4 - 3}$

चरण 1.7.4

$4$ में से $3$ घटाएं.

$- \frac{6}{1}$

चरण 1.7.5

$6$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 6$

चरण 1.7.6

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$- 6$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 6$ और दिए गए बिंदु $(4, 4)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (4) = - 6 \cdot (x - (4))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 6 \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 4 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 4 = - 6 x - 6 \cdot - 4$

चरण 2.3.1.4

$- 6$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y - 4 = - 6 x + 24$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y = - 6 x + 24 + 4$

चरण 2.3.2.2

$24$ और $4$ जोड़ें.

$y = - 6 x + 28$

चरण 3