कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$ , $(9, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 9$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

परिमेय घातांकों के साथ बाएँ पक्ष को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 4$

चरण 1.1.2

$\sqrt{y}$ को $y^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 4$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

चरण 1.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

चरण 1.3.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

चरण 1.3.3.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

चरण 1.3.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

चरण 1.3.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

चरण 1.3.3.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

चरण 1.3.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

चरण 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ और $y^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

चरण 1.3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $y'$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

चरण 1.3.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $y^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.3.4.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 1.6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ घटाएं.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.2

दोनों पक्षों को $2 y^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.1.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.2.1

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.2.1.1.1

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.2.1.1.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.2.1.1.3

$2 y^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

चरण 1.6.3.2.1.1.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.6.3.2.1.1.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.6.3.2.1.2

$\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $y^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.3.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8

$x = 9$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{{(1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.4.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.8.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.8.4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{3^{1}}$

चरण 1.8.4.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{3}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{1}{3}$ और दिए गए बिंदु $(9, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (9))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 9$

चरण 2.3.1.4

$x$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$y - 1 = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 9$

चरण 2.3.1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot - 9$

चरण 2.3.1.5.2

$- 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 3))$

चरण 2.3.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 3)$

चरण 2.3.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - 1 = - \frac{x}{3} - 1 \cdot - 3$

चरण 2.3.1.6

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y - 1 = - \frac{x}{3} + 3$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = - \frac{x}{3} + 3 + 1$

चरण 2.3.2.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$y = - \frac{x}{3} + 4$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{1}{3} x) + 4$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{1}{3} x + 4$

चरण 3