कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - 1$ और $y = 0$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

चरण 1.1.2

$\frac{x}{2}$ और $\ln (x^{2})$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x^{2})$ है.

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.2

$\frac{2}{x}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.4.3.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

चरण 1.4.6

$\ln (x^{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

चरण 1.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

चरण 1.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

चरण 1.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

चरण 1.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

चरण 1.5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (x^{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

चरण 1.5.4.2

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{2})$ का प्रसार करें.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

चरण 1.5.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

चरण 1.5.4.3.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) + 1$

चरण 1.6

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\ln (- 1) + 1$

चरण 1.7

एक ऋणात्मक संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

चरण 2

रेखा का ढलान अपरिभाषित है, जिसका अर्थ है कि यह x-अक्ष पर $x = - 1$ पर लंबवत है.

$x = - 1$

चरण 3