कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{10}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 5)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 5$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{10}{1 + e^{- x}}$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ है.

$10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

चरण 1.1.2

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$ को ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$10 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 + e^{- x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 + e^{- x}$ के रूप में सेट करें.

$10 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$10 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

चरण 1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{- x}$ से बदलें.

$10 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $10$ से गुणा करें.

$- 10 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 1.3.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ जोड़ें.

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 1.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.5.2

$- 1$ को $- 10$ से गुणा करें.

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

चरण 1.5.4

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$10 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

चरण 1.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

चरण 1.6.3

$10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ और $10$ को मिलाएं.

$\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

चरण 1.6.3.2

$\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ और $e^{- x}$ को मिलाएं.

$\frac{10 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

चरण 1.7

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{10 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

चरण 1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{10 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

चरण 1.8.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

चरण 1.8.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.8.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

चरण 1.8.2.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{10 \cdot 1}{2^{2}}$

चरण 1.8.2.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{10 \cdot 1}{4}$

चरण 1.8.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.3.1

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{10}{4}$

चरण 1.8.3.2

$10$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.3.2.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5)}{4}$

चरण 1.8.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.3.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

चरण 1.8.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

चरण 1.8.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5}{2}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{5}{2}$ और दिए गए बिंदु $(0, 5)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (5) = \frac{5}{2} \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{5}{2} \cdot (x + 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot x$

चरण 2.3.1.2

$\frac{5}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 5 = \frac{5 x}{2}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$y = \frac{5 x}{2} + 5$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{5}{2} x + 5$

चरण 3