कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - 5$ और $y = \frac{1}{6}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ है.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2

$\frac{1}{x - 1}$ को ${(x - 1)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4.2

${(x - 1)}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4.6.2

${(x - 1)}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

चरण 1.4.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.8.1

$\frac{1}{x - 1}$ को $0$ से गुणा करें.

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

चरण 1.4.8.2

${(x - 1)}^{- 2}$ और $0$ जोड़ें.

${(x - 1)}^{- 2}$

चरण 1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.6

$x = - 5$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

चरण 1.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$- 5$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

चरण 1.7.2

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{36}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{36}$ और दिए गए बिंदु $(- 5, \frac{1}{6})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{36}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

चरण 2.3.1.5

$\frac{1}{36}$ और $5$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{6}$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

चरण 2.3.2.2

$\frac{1}{6}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

चरण 2.3.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $36$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.1

$\frac{1}{6}$ को $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

चरण 2.3.2.3.2

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

चरण 2.3.2.5

$5$ और $6$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

चरण 3