कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = \frac{π}{2}$ और $y = \frac{π}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{\sin (x)}$ को $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

चरण 1.1.2

$\sin (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\sin (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x) \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x) \ln (x)$ से बदलें.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

चरण 1.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 1.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 1.5

$\sin (x)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 1.6

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

चरण 1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

चरण 1.7.2

$e^{\sin (x) \ln (x)}$ और $\frac{\sin (x)}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

चरण 1.7.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

चरण 1.8

$x = \frac{π}{2}$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9.1.2

$1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $1 \ln (\frac{π}{2})$ को सरल करें.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9.1.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9.1.4

सरल करें.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9.1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9.1.6

$\frac{π}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9.1.7

$0$ को $\ln (\frac{π}{2})$ से गुणा करें.

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.9.1.8

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.10

$1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $1 \ln (\frac{π}{2})$ को सरल करें.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.11

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.12

सरल करें.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.13

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.14

$\frac{π}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.15

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1.15.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

चरण 1.9.1.15.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

चरण 1.9.1.16

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1.16.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

चरण 1.9.1.16.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + 1$

चरण 1.9.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $1$ और दिए गए बिंदु $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - \frac{π}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

चरण 2.3.2.2

$x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$- \frac{π}{2}$ और $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$y = x + 0$

चरण 2.3.2.2.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y = x$

चरण 3