कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y^{2}$ और $g (x) = e^{2 x}$ है.

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.8

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.9

$2$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.2.10

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 y$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.2.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

चरण 1.2.4.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

चरण 1.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

चरण 1.2.5.2

गुणनखंडों को $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ में पुन: क्रमित करें.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $0$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $0$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

गुणनखंडों को $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ में पुन: क्रमित करें.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

चरण 1.5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y^{2} e^{2 x}$ घटाएं.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

चरण 1.5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x$ जोड़ें.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

चरण 1.5.3

$2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$2 y y' e^{2 x}$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

चरण 1.5.3.2

$- 4 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

चरण 1.5.3.3

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

चरण 1.5.4

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ के प्रत्येक पद को $2 (y e^{2 x} - 2)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ के प्रत्येक पद को $2 (y e^{2 x} - 2)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.2.2

$y e^{2 x} - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1.1

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1.1.1

$- 2 y^{2} e^{2 x}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.3.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

चरण 1.5.4.3.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.5.4.3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.5.4.3.2.2

$- y^{2} e^{2 x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.5.4.3.2.3

$x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.5.4.3.2.4

$- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.5.4.3.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.2.5.1

$- (y^{2} e^{2 x} - x)$ को $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.5.4.3.2.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

चरण 1.7

$x = 0$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $4$ से बदलें.

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$4^{2} e^{2 (0)}$ को ${(4 e^{0})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.2

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 4 e^{0}$ और $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.4.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.4.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.4.3

$4$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.4.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.4.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.3.4.6

$4$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

चरण 1.7.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

चरण 1.7.4.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

चरण 1.7.4.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

चरण 1.7.4.4

$4$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

चरण 1.7.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{16}{2}$

चरण 1.7.5.2

$16$ को $2$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 8$

चरण 1.7.5.3

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 8$ और दिए गए बिंदु $(0, 4)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 4 = - 8 x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y = - 8 x + 4$

चरण 3