कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(32, 8)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 32$ और $y = 8$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{2 x}$ को ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.2

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.3

उत्पाद नियम को $2 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $2^{\frac{1}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 1.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 1.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 1.9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.10

$2^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $2^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.12

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1

$2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.12.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.12.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.12.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13

$x = 32$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(32)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.14.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.14.1.1

$32$ को $2^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.14.1.2

घातांक को ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.14.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{5 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.14.1.2.2

$5$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

चरण 1.14.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}$

चरण 1.14.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 5}{2}}}$

चरण 1.14.1.5

$1$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{1}{2^{\frac{6}{2}}}$

चरण 1.14.1.6

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.14.1.6.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}$

चरण 1.14.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.14.1.6.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}$

चरण 1.14.1.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}$

चरण 1.14.1.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2^{\frac{3}{1}}}$

चरण 1.14.1.6.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2^{3}}$

चरण 1.14.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{8}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{8}$ और दिए गए बिंदु $(32, 8)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (8) = \frac{1}{8} \cdot (x - (32))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{8} \cdot (x - 32)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 8 = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 32$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 32$

चरण 2.3.1.5

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$- 32$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 4))$

चरण 2.3.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 4)$

चरण 2.3.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - 8 = \frac{x}{8} - 4$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{8} - 4 + 8$

चरण 2.3.2.2

$- 4$ और $8$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{8} + 4$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{8} x + 4$

चरण 3