कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

चरण 1

$x = 4$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$4$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

चरण 1.2

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

चरण 1.2.2

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$y = \sqrt{25 - 16}$

चरण 1.2.3

$25$ में से $16$ घटाएं.

$y = \sqrt{9}$

चरण 1.2.4

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt{3^{2}}$

चरण 1.2.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$y = 3$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = 3$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{25 - x^{2}}$ को ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 25 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $25 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $25 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $25 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 2.10

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.11

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

चरण 2.13

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

चरण 2.13.2

$- 2$ और $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

चरण 2.13.3

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.13.4

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.1

$2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 2.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.16

$x = 4$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.17

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.17.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.17.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.17.1.2

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.17.2

$25$ में से $16$ घटाएं.

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.17.3

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.17.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 2.17.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.17.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 2.17.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{4}{3^{1}}$

चरण 2.17.6

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{4}{3}$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $- \frac{4}{3}$ और दिए गए बिंदु $(4, 3)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

चरण 3.3.1.4

$x$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

चरण 3.3.1.5

$- \frac{4}{3} \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

चरण 3.3.1.5.2

$4$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

चरण 3.3.1.5.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

चरण 3.3.1.6

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

चरण 3.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

चरण 3.3.2.2

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 3.3.2.3

$3$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

चरण 3.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

चरण 3.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.5.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

चरण 3.3.2.5.2

$16$ और $9$ जोड़ें.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

चरण 3.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

चरण 3.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

चरण 4