कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ at the point $(4, - \frac{43}{4})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = - \frac{43}{4}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.8

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.9

$- 4$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.11

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.12.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.2.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + 0$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

चरण 1.4.2

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.5

$x = 4$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.1.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.6.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.6.1.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

चरण 1.6.1.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

चरण 1.6.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

चरण 1.6.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot 1$

चरण 1.6.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{16} - 1$

चरण 1.6.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

चरण 1.6.3

$- 1$ और $\frac{16}{16}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

चरण 1.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 16}{16}$

चरण 1.6.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.5.1

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 - 16}{16}$

चरण 1.6.5.2

$- 1$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{- 17}{16}$

चरण 1.6.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{17}{16}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{17}{16}$ और दिए गए बिंदु $(4, - \frac{43}{4})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- \frac{43}{4}) = - \frac{17}{16} \cdot (x - (4))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y + \frac{43}{4} = 0 + 0 - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} x - \frac{17}{16} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.2

$x$ और $\frac{17}{16}$ को मिलाएं.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} - \frac{17}{16} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.3.1

$- \frac{17}{16}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{16} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.3.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 (4)} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.2.3.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.2.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.2.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.2.4

$\frac{- 17}{4}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17 \cdot - 1}{4}$

चरण 2.3.1.2.5

$- 17$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{17}{4}$

चरण 2.3.1.3

$17$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{43}{4}$ घटाएं.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4} - \frac{43}{4}$

चरण 2.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{17 - 43}{4}$

चरण 2.3.2.3

$17$ में से $43$ घटाएं.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

चरण 2.3.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

चरण 2.3.2.4.2

$- 26$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.2.1

$- 26$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 (- 13)}{4}$

चरण 2.3.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

चरण 2.3.2.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

चरण 2.3.2.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 13}{2}$

चरण 2.3.2.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{17 x}{16} - \frac{13}{2}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{17}{16} x) - \frac{13}{2}$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{17}{16} x - \frac{13}{2}$

चरण 3