कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = \frac{1}{e}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = e^{- x}$ है.

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.3.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

चरण 1.4.2

गुणनखंडों को $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

चरण 1.5

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

चरण 1.6.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

चरण 1.6.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

चरण 1.6.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

चरण 1.6.1.5

$- 1 \frac{1}{e}$ को $- \frac{1}{e}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

चरण 1.6.1.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

चरण 1.6.1.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

चरण 1.6.1.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

चरण 1.6.1.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

चरण 1.6.1.10

$3$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

चरण 1.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

चरण 1.6.2.2

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2}{e}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{2}{e}$ और दिए गए बिंदु $(1, \frac{1}{e})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ घटाएं.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

चरण 2.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

चरण 2.3.1.2.2

$x$ और $\frac{2}{e}$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

चरण 2.3.1.2.3

$- \frac{2}{e} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

चरण 2.3.1.2.3.2

$\frac{2}{e}$ को $1$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

चरण 2.3.1.2.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

चरण 2.3.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

चरण 2.3.1.4

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

चरण 2.3.1.5

$y$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e}{e}$ से गुणा करें.

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

चरण 2.3.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

चरण 2.3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$y e - 2 x + 1 = 0$

चरण 2.3.3

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x$ जोड़ें.

$y e + 1 = 2 x$

चरण 2.3.3.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y e = 2 x - 1$

चरण 2.3.3.2

$y e = 2 x - 1$ के प्रत्येक पद को $e$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$y e = 2 x - 1$ के प्रत्येक पद को $e$ से विभाजित करें.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

चरण 2.3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1

$e$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

चरण 2.3.3.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

चरण 2.3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

चरण 2.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

चरण 3