कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {({(x - 2)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 3$

चरण 1

$x = 3$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$3$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

चरण 1.2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = {({(3 - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

चरण 1.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

चरण 1.2.3

${({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$3$ में से $2$ घटाएं.

$y = {(1^{2} - (3))}^{2}$

चरण 1.2.3.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = {(1 - (3))}^{2}$

चरण 1.2.3.1.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = {(1 - 3)}^{2}$

चरण 1.2.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$1$ में से $3$ घटाएं.

$y = {(- 2)}^{2}$

चरण 1.2.3.2.2

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 4$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 3$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = {(x - 2)}^{2} - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x - 2)}^{2} - x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

चरण 2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x - 2)}^{2} - x$ से बदलें.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में ${(x - 2)}^{2} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x - 2$ के रूप में सेट करें.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.4.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.4.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.6

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1 \cdot 1)$

चरण 2.4.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1)$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 2) - 1)$

चरण 2.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

चरण 2.5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

चरण 2.5.3.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 4 - 1)$

चरण 2.5.3.3

$- 4$ में से $1$ घटाएं.

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

${(x - 2)}^{2}$ को $(x - 2) (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(2 ((x - 2) (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.3.1.2

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.3.1.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$(2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.3.2

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$(2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.5.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.4.5.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$(2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x) (2 x - 5)$

चरण 2.5.5

$- 8 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$

चरण 2.5.6

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$ का प्रसार करें.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.2.1

$x$ ले जाएं.

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.4

$- 5$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x \cdot x - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.6.1

$x$ ले जाएं.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.7

$- 10$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.8

$- 5$ को $- 10$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.9

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x + 8 \cdot - 5$

चरण 2.5.7.10

$8$ को $- 5$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

चरण 2.5.8

$- 10 x^{2}$ में से $20 x^{2}$ घटाएं.

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

चरण 2.5.9

$50 x$ और $16 x$ जोड़ें.

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 66 x - 40$

चरण 2.6

$x = 3$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$4 {(3)}^{3} - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

चरण 2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 27 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

चरण 2.7.1.2

$4$ को $27$ से गुणा करें.

$108 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

चरण 2.7.1.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$108 - 30 \cdot 9 + 66 (3) - 40$

चरण 2.7.1.4

$- 30$ को $9$ से गुणा करें.

$108 - 270 + 66 (3) - 40$

चरण 2.7.1.5

$66$ को $3$ से गुणा करें.

$108 - 270 + 198 - 40$

चरण 2.7.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

$108$ में से $270$ घटाएं.

$- 162 + 198 - 40$

चरण 2.7.2.2

$- 162$ और $198$ जोड़ें.

$36 - 40$

चरण 2.7.2.3

$36$ में से $40$ घटाएं.

$- 4$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $- 4$ और दिए गए बिंदु $(3, 4)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (4) = - 4 \cdot (x - (3))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 4 \cdot (x - 3)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 3)$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 4 = - 4 x - 4 \cdot - 3$

चरण 3.3.1.4

$- 4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y - 4 = - 4 x + 12$

चरण 3.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y = - 4 x + 12 + 4$

चरण 3.3.2.2

$12$ और $4$ जोड़ें.

$y = - 4 x + 16$

चरण 4