कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(- 1, 8)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - 1$ और $y = 8$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{2} - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - x$ से बदलें.

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

चरण 1.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

चरण 1.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$3 {({(- 1)}^{2} - (- 1))}^{2} (2 (- 1) - 1)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 {(1 - (- 1))}^{2} (2 (- 1) - 1)$

चरण 1.4.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 {(1 + 1)}^{2} (2 (- 1) - 1)$

चरण 1.4.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 \cdot 2^{2} (2 (- 1) - 1)$

चरण 1.4.2.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot 4 (2 (- 1) - 1)$

चरण 1.4.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 (2 (- 1) - 1)$

चरण 1.4.2.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12 (- 2 - 1)$

चरण 1.4.2.5

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$12 \cdot - 3$

चरण 1.4.2.6

$12$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 36$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 36$ और दिए गए बिंदु $(- 1, 8)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (8) = - 36 \cdot (x - (- 1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 8 = - 36 \cdot (x + 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 36 \cdot (x + 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 8 = 0 + 0 - 36 \cdot (x + 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 8 = - 36 \cdot (x + 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 8 = - 36 x - 36 \cdot 1$

चरण 2.3.1.4

$- 36$ को $1$ से गुणा करें.

$y - 8 = - 36 x - 36$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$y = - 36 x - 36 + 8$

चरण 2.3.2.2

$- 36$ और $8$ जोड़ें.

$y = - 36 x - 28$

चरण 3