कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = - 3$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ है.

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

चरण 1.1.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ को ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

चरण 1.1.3.2

घातांक को ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

चरण 1.1.3.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = 3 x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x^{2} + 1$ से बदलें.

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.3.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

चरण 1.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.1

$6 x$ और $0$ जोड़ें.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

चरण 1.3.7.2

$6$ को $9$ से गुणा करें.

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

चरण 1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$54$ और $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

चरण 1.4.2.2

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.5

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$54$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

चरण 1.6.2.2

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

चरण 1.6.2.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{0}{1^{4}}$

चरण 1.6.2.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{0}{1}$

चरण 1.6.3

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $0$ और दिए गए बिंदु $(0, - 3)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0 \cdot (x + 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y + 3 = 0 \cdot x$

चरण 2.3.1.2

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$y + 3 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$y = - 3$

चरण 3