कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = e$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x e^{x}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.3.3

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.3.5

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.4.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 1.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$e^{x} (2 x)$ में से $2 x e^{x}$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 1.5.2.1.2

$2 x e^{x}$ में से $2 x e^{x}$ घटाएं.

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 1.5.2.2

$x^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 1.5.2.3

$- 2 e^{x}$ और $2 e^{x}$ जोड़ें.

$x^{2} e^{x} + 0$

चरण 1.5.2.4

$x^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} e^{x}$

चरण 1.5.3

$x^{2} e^{x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$e^{x} x^{2}$

चरण 1.5.4

गुणनखंडों को $e^{x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$x^{2} e^{x}$

चरण 1.6

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

${(1)}^{2} e^{1}$

चरण 1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 e^{1}$

चरण 1.7.2

$e^{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{1}$

चरण 1.7.3

सरल करें.

$e$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $e$ और दिए गए बिंदु $(1, e)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - e = e \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$e \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - e = e x + e \cdot - 1$

चरण 2.3.1.2.2

$- 1$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - e = e x - 1 \cdot e$

चरण 2.3.1.3

$- 1 e$ को $- e$ के रूप में फिर से लिखें.

$y - e = e x - e$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $e$ जोड़ें.

$y = e x - e + e$

चरण 2.3.2.2

$e x - e + e$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$- e$ और $e$ जोड़ें.

$y = e x + 0$

चरण 2.3.2.2.2

$e x$ और $0$ जोड़ें.

$y = e x$

चरण 3