कैलकुलस उदाहरण

$y = {(e^{2 x} - 3)}^{2}$ , $(0, 4)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{2 x} - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{2 x} - 3$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

चरण 1.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{2 x} - 3$ से बदलें.

$2 (e^{2 x} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 x} - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$2 (e^{2 x} - 3) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$2 (e^{2 x} - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.4.3.2

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (e^{2 x} - 3) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (e^{2 x} - 3) (2 e^{2 x} + 0)$

चरण 1.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

$2 e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (e^{2 x} - 3) (2 e^{2 x})$

चरण 1.4.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 (e^{2 x} - 3) e^{2 x}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 3) e^{2 x}$

चरण 1.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

चरण 1.5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

घातांक जोड़कर $e^{2 x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1

$e^{2 x}$ ले जाएं.

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

चरण 1.5.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

चरण 1.5.3.1.3

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

चरण 1.5.3.2

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$

चरण 1.6

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$4 e^{4 (0)} - 12 e^{2 (0)}$

चरण 1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$4 e^{0} - 12 e^{2 (0)}$

चरण 1.7.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$4 \cdot 1 - 12 e^{2 (0)}$

चरण 1.7.1.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 - 12 e^{2 (0)}$

चरण 1.7.1.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$4 - 12 e^{0}$

चरण 1.7.1.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$4 - 12 \cdot 1$

चरण 1.7.1.6

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$4 - 12$

चरण 1.7.2

$4$ में से $12$ घटाएं.

$- 8$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 8$ और दिए गए बिंदु $(0, 4)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 4 = - 8 x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y = - 8 x + 4$

चरण 3