कैलकुलस उदाहरण

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(6, 5)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 6$ और $y = 5$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

${(y - 3)}^{2}$ को $(y - 3) (y - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

चरण 1.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(y - 3) (y - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

चरण 1.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

चरण 1.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

चरण 1.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

चरण 1.2.3.1.2

$- 3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

चरण 1.2.3.1.3

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

चरण 1.2.3.2

$- 3 y$ में से $3 y$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

चरण 1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} - 6 y + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.7

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 y$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.8

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y y' - 6 y' + 0$

चरण 1.2.10

$2 y y' - 6 y'$ और $0$ जोड़ें.

$2 y y' - 6 y'$

चरण 1.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 (x - 5)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

चरण 1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 (1 + 0)$

चरण 1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 \cdot 1$

चरण 1.3.5.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y y' - 6 y' = 4$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 y y' - 6 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$2 y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y - 6 y' = 4$

चरण 1.5.1.2

$- 6 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

चरण 1.5.1.3

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (y - 3) = 4$

चरण 1.5.2

$2 y' (y - 3) = 4$ के प्रत्येक पद को $2 (y - 3)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$2 y' (y - 3) = 4$ के प्रत्येक पद को $2 (y - 3)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.2.2.2

$y - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.2.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.3.1

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.3.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

चरण 1.5.2.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

चरण 1.7

$x = 6$ और $y = 5$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$\frac{2}{y - 3}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $5$ से बदलें.

$\frac{2}{(5) - 3}$

चरण 1.7.3

$5$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{2}{2}$

चरण 1.7.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$1$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $1$ और दिए गए बिंदु $(6, 5)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (5) = 1 \cdot (x - (6))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 5 = 1 \cdot (x - 6)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - 6$ को $1$ से गुणा करें.

$y - 5 = x - 6$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$y = x - 6 + 5$

चरण 2.3.2.2

$- 6$ और $5$ जोड़ें.

$y = x - 1$

चरण 3