कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

चरण 1

$x = 2$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$2$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

चरण 1.2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

चरण 1.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

चरण 1.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

चरण 1.2.3.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

चरण 1.2.3.3

$8$ में से $2$ घटाएं.

$y = \frac{1}{6^{2}}$

चरण 1.2.3.4

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{36}$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 2$ और $y = \frac{1}{36}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ को ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2

घातांक को ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x^{3} - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{3} - x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} - x$ से बदलें.

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

चरण 2.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

चरण 2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

चरण 2.5.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

चरण 2.5.2

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

चरण 2.6

$x = 2$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

चरण 2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

चरण 2.7.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

चरण 2.7.1.3

$8$ में से $2$ घटाएं.

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

चरण 2.7.1.4

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

चरण 2.7.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

चरण 2.7.2.1.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

चरण 2.7.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.2.1

$12$ में से $1$ घटाएं.

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

चरण 2.7.2.2.2

$- 1$ को $11$ से गुणा करें.

$- 11 (\frac{2}{216})$

चरण 2.7.2.2.3

$2$ और $216$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

चरण 2.7.2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.2.3.2.1

$216$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

चरण 2.7.2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

चरण 2.7.2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 11 (\frac{1}{108})$

चरण 2.7.2.2.4

$- 11$ और $\frac{1}{108}$ को मिलाएं.

$\frac{- 11}{108}$

चरण 2.7.2.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{11}{108}$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $- \frac{11}{108}$ और दिए गए बिंदु $(2, \frac{1}{36})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.2.2

$x$ और $\frac{11}{108}$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.3.1

$- \frac{11}{108}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.2.3.2

$108$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.2.3.3

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

चरण 3.3.1.2.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

चरण 3.3.1.2.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

चरण 3.3.1.2.4

$\frac{- 11}{54}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

चरण 3.3.1.2.5

$- 11$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

चरण 3.3.1.3

$11$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

चरण 3.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{36}$ जोड़ें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

चरण 3.3.2.2

$\frac{11}{54}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

चरण 3.3.2.3

$\frac{1}{36}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 3.3.2.4

प्रत्येक व्यंजक को $108$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.4.1

$\frac{11}{54}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 3.3.2.4.2

$54$ को $2$ से गुणा करें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 3.3.2.4.3

$\frac{1}{36}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

चरण 3.3.2.4.4

$36$ को $3$ से गुणा करें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

चरण 3.3.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

चरण 3.3.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.6.1

$11$ को $2$ से गुणा करें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

चरण 3.3.2.6.2

$22$ और $3$ जोड़ें.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

चरण 3.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

चरण 3.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

चरण 4