कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 2$ और $y = 0$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 2 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.3

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.5

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

चरण 1.2.7

$2 x - 2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

चरण 1.3.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

चरण 1.3.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

चरण 1.3.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

चरण 1.3.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है.

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3

$2 x - 2$ को $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.4

$2 x - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.4.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.4.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.5

$x - 1$ और ${(x - 1)}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$2 (x - 1)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.2.1

${(x - 1)}^{2}$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

चरण 1.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

चरण 1.3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{x - 1}$

चरण 1.4

$x = 2$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{2}{(2) - 1}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{1}$

चरण 1.5.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $2$ और दिए गए बिंदु $(2, 0)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$y$ और $0$ जोड़ें.

$y = 2 \cdot (x - 2)$

चरण 2.3.2

$2 \cdot (x - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

चरण 2.3.2.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = 2 x - 4$

चरण 3