कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 3)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = 3$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3} + 2$ और $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ है.

$(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - 4 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$(x^{3} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(x^{3} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(x^{3} + 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$(x^{3} + 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.5

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.7

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.9

$6 x - 4$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.2.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.2.12

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

चरण 1.2.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.13.1

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

चरण 1.2.13.2

$3$ को $3 x^{2} - 4 x + 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

चरण 1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{3} + 2) (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1.1

$x$ ले जाएं.

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.1.2

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.1.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$x^{4} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.2

$6$ को $x^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \cdot x^{4} + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.3

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{4} + 12 x + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.4

$- 4$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 x^{4} + 12 x - 4 \cdot x^{3} + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.5

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.6

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.7

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.7.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.7.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.8

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.9

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.9.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.9.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.9.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.9.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.9.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

चरण 1.3.6.10

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

चरण 1.3.6.11

$6 x^{4}$ और $9 x^{4}$ जोड़ें.

$15 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

चरण 1.3.6.12

$- 4 x^{3}$ में से $12 x^{3}$ घटाएं.

$15 x^{4} + 12 x - 16 x^{3} - 8 + 6 x^{2}$

चरण 1.3.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 8$

चरण 1.4

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

चरण 1.5.1.2

$15$ को $1$ से गुणा करें.

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

चरण 1.5.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

चरण 1.5.1.4

$- 16$ को $1$ से गुणा करें.

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

चरण 1.5.1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 12 (1) - 8$

चरण 1.5.1.6

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$15 - 16 + 6 + 12 (1) - 8$

चरण 1.5.1.7

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$15 - 16 + 6 + 12 - 8$

चरण 1.5.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$15$ में से $16$ घटाएं.

$- 1 + 6 + 12 - 8$

चरण 1.5.2.2

$- 1$ और $6$ जोड़ें.

$5 + 12 - 8$

चरण 1.5.2.3

$5$ और $12$ जोड़ें.

$17 - 8$

चरण 1.5.2.4

$17$ में से $8$ घटाएं.

$9$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $9$ और दिए गए बिंदु $(1, 3)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (3) = 9 \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$9 \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 3 = 9 x + 9 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 3 = 9 x - 9$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$y = 9 x - 9 + 3$

चरण 2.3.2.2

$- 9$ और $3$ जोड़ें.

$y = 9 x - 6$

चरण 3