कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 16$ और $y = 32$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x - 8$ है.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 1.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 1.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 1.9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.2.1

$x$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.2.3.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.2.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.3.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.4

$- 8$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.5

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.2.6.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 1.11.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.8

$x^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.9

$x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.11

$2$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.11.2.12

$2 x^{\frac{1}{2}}$ और $x^{\frac{1}{2}}$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.12

$x = 16$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1.1.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.1.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.3

$12$ को $2$ से विभाजित करें.

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1.4.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.13.1.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.13.1.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.13.1.4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

चरण 1.13.1.4.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$6 - \frac{4}{4}$

चरण 1.13.1.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 - \frac{4}{4}$

चरण 1.13.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 - 1 \cdot 1$

चरण 1.13.1.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - 1$

चरण 1.13.2

$6$ में से $1$ घटाएं.

$5$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $5$ और दिए गए बिंदु $(16, 32)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$5 \cdot (x - 16)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

चरण 2.3.1.4

$5$ को $- 16$ से गुणा करें.

$y - 32 = 5 x - 80$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $32$ जोड़ें.

$y = 5 x - 80 + 32$

चरण 2.3.2.2

$- 80$ और $32$ जोड़ें.

$y = 5 x - 48$

चरण 3