कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = \frac{1}{9}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x$ और $g (x) = 8 + e^{x}$ है.

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.5

$8 + e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3.1.2

$- 1 e^{x}$ को $- e^{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3.2

$8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$e^{x}$ में से $e^{x}$ घटाएं.

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.3.2.2

$8$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.5

$- e^{x} x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.6

$8$ को $- 1 (- 8)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.7

$- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.8

$- (e^{x} x - 8)$ को $- 1 (e^{x} x - 8)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.4.10

गुणनखंडों को $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 1.5

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$0 \cdot e^{0}$ को ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.2

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = 0 \cdot e^{0}$ और $b = 2$ हैं.

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.4.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4.2

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4.3

$0$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4.4

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.4.4.1

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

चरण 1.6.1.4.4.2

बहुपद को फिर से लिखें.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4.4.3

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 0 \cdot e^{0}$ और $b = 2$ है.

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4.6

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.4.7

$0$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

चरण 1.6.2.2

$e^{0}$ को ${(e^{0})}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

चरण 1.6.2.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = 2$ और $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.4.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.5

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.6

घातांक को ${(e^{0})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.4.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.6.2

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.7

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.8

$4$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

चरण 1.6.2.4.9

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

चरण 1.6.2.5

उत्पाद नियम को $3 \cdot 3$ पर लागू करें.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

चरण 1.6.2.6

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

चरण 1.6.2.7

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

चरण 1.6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

चरण 1.6.3.2

$9$ को $9$ से गुणा करें.

$- \frac{- 8}{81}$

चरण 1.6.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{8}{81}$

चरण 1.6.4

$- - \frac{8}{81}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{8}{81})$

चरण 1.6.4.2

$\frac{8}{81}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8}{81}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{8}{81}$ और दिए गए बिंदु $(0, \frac{1}{9})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

चरण 2.3.1.2

$\frac{8}{81}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{9}$ जोड़ें.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

चरण 3