कैलकुलस उदाहरण

$8 x^{2} + x y + 8 y^{2} = 17$ , $(1, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + x y + 8 y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{2} + x y + 8 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{2}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.2.3

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$16 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$16 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.3.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$16 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

चरण 1.2.4

$\frac{d}{d x} [8 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 y^{2}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$16 x + x y' + y + 8 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 1.2.4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$16 x + x y' + y + 8 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$16 x + x y' + y + 8 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$16 x + x y' + y + 8 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 x + x y' + y + 8 (2 y y')$

चरण 1.2.4.4

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 x + x y' + y + 16 y y'$

चरण 1.2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x y' + 16 y y' + 16 x + y$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $17$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $17$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x y' + 16 y y' + 16 x + y = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $16 x$ घटाएं.

$x y' + 16 y y' + y = - 16 x$

चरण 1.5.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$x y' + 16 y y' = - 16 x - y$

चरण 1.5.2

$x y' + 16 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' x + 16 y y' = - 16 x - y$

चरण 1.5.2.2

$16 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x) + y' (16 y) = - 16 x - y$

चरण 1.5.2.3

$y' (x) + y' (16 y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x + 16 y) = - 16 x - y$

चरण 1.5.3

$y' (x + 16 y) = - 16 x - y$ के प्रत्येक पद को $x + 16 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$y' (x + 16 y) = - 16 x - y$ के प्रत्येक पद को $x + 16 y$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x + 16 y)}{x + 16 y} = \frac{- 16 x}{x + 16 y} + \frac{- y}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$x + 16 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x + 16 y)}{x + 16 y} = \frac{- 16 x}{x + 16 y} + \frac{- y}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 16 x}{x + 16 y} + \frac{- y}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 16 x - y}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.3.2

$- 16 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (16 x) - y}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.3.3

$- y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (16 x) - (y)}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.3.4

$- (16 x) - (y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (16 x + y)}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.5.1

$- (16 x + y)$ को $- 1 (16 x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (16 x + y)}{x + 16 y}$

चरण 1.5.3.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{16 x + y}{x + 16 y}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x + y}{x + 16 y}$

चरण 1.7

$x = 1$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{16 (1) + y}{(1) + 16 y}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$- \frac{16 (1) + 1}{(1) + 16 (1)}$

चरण 1.7.3

कोष्ठक हटा दें.

$- \frac{16 (1) + 1}{(1) + 16 (1)}$

चरण 1.7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{16 + 1}{1 + 16 (1)}$

चरण 1.7.4.2

$16$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{17}{1 + 16 (1)}$

चरण 1.7.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{17}{1 + 16}$

चरण 1.7.5.2

$1$ और $16$ जोड़ें.

$- \frac{17}{17}$

चरण 1.7.6

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.6.1

$17$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{17}{17}$

चरण 1.7.6.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \cdot 1$

चरण 1.7.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 1$ और दिए गए बिंदु $(1, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1 \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.4.1

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 1 = - x + 1$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = - x + 1 + 1$

चरण 2.3.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = - x + 2$

चरण 3