कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

चरण 1

$x = \frac{π}{3}$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{π}{3}$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.2.2

$4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$y = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.2.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 2 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

चरण 1.2.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1

$2 \sqrt{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 (\sqrt{3}) \frac{1}{2}$

चरण 1.2.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

चरण 1.2.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \sqrt{3}$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = \frac{π}{3}$ और $y = \sqrt{3}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \sin (x) \cos (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 2.4

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 2.5

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 2.8

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

चरण 2.9

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

चरण 2.10

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

चरण 2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

चरण 2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

चरण 2.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

चरण 2.13.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

चरण 2.13.3

$4 \cos^{2} (x)$ को ${(2 \cos (x))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

चरण 2.13.4

$4 \sin^{2} (x)$ को ${(2 \sin (x))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

चरण 2.13.5

$- {(2 \sin (x))}^{2}$ और ${(2 \cos (x))}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

चरण 2.13.6

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 2 \cos (x)$ और $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

चरण 2.13.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

चरण 2.13.8

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

चरण 2.13.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

चरण 2.13.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.9

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.9.1

गुणनखंडों को $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ और $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.9.2

$- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ और $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ जोड़ें.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.9.3

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ और $0$ जोड़ें.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.10

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.10.1

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.10.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.10.1.2

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.10.1.3

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.10.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.10.1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

चरण 2.13.10.2

$2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.10.2.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

चरण 2.13.10.2.2

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

चरण 2.13.10.2.3

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

चरण 2.13.10.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

चरण 2.13.10.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

चरण 2.14

$x = \frac{π}{3}$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$4 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

चरण 2.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

चरण 2.15.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

चरण 2.15.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 \frac{1}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

चरण 2.15.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

चरण 2.15.1.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

चरण 2.15.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

चरण 2.15.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$1 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

चरण 2.15.1.7

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$1 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

चरण 2.15.1.8

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.1.8.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$1 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

चरण 2.15.1.8.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

चरण 2.15.1.8.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 2.15.1.8.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.1.8.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 2.15.1.8.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - 4 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

चरण 2.15.1.8.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$1 - 4 \frac{3}{2^{2}}$

चरण 2.15.1.9

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 4 (\frac{3}{4})$

चरण 2.15.1.10

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.15.1.10.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$1 + 4 (- 1) \frac{3}{4}$

चरण 2.15.1.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 + 4 \cdot - 1 \frac{3}{4}$

चरण 2.15.1.10.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - 1 \cdot 3$

चरण 2.15.1.11

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$1 - 3$

चरण 2.15.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- 2$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $- 2$ और दिए गए बिंदु $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\sqrt{3}) = - 2 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \sqrt{3} = - 2 x - 2 (- \frac{π}{3})$

चरण 3.3.1.4

$- 2 (- \frac{π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y - \sqrt{3} = - 2 x + 2 \frac{π}{3}$

चरण 3.3.1.4.2

$2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$y - \sqrt{3} = - 2 x + \frac{2 π}{3}$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\sqrt{3}$ जोड़ें.

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

चरण 3.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$\sqrt{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 3.3.3.2

$\sqrt{3}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

चरण 3.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - 2 x + \frac{2 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

चरण 3.3.3.4

$3$ को $\sqrt{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - 2 x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

चरण 4