कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 5$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + 3}{x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + 3}{x - 1}$ से बदलें.

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

चरण 1.2

$2$ और $\frac{x + 3}{x - 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

चरण 1.3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 3$ और $g (x) = x - 1$ है.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.6

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.4.8.3

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ को $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.5

घातांक जोड़कर $x - 1$ को ${(x - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$x - 1$ को ${(x - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

चरण 1.5.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3.2

$x - 1 - x - 1 \cdot 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3.4

$- 1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3.6

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.3.7

$6$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.4

$- 8 x - 24$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1

$- 8 x$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.4.2

$- 24$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.4.3

$8 (- x) + 8 (- 3)$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.5

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.6

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.7

$- (x) - 1 (3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.8

$- (x + 3)$ को $- 1 (x + 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.6.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.7

$x = 5$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

चरण 1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

$5$ और $3$ जोड़ें.

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

चरण 1.8.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.2.1

$5$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

चरण 1.8.2.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

चरण 1.8.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.3.1

$8$ को $8$ से गुणा करें.

$- \frac{64}{64}$

चरण 1.8.3.2

$64$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{64}{64}$

चरण 1.8.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \cdot 1$

चरण 1.8.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 1$ और दिए गए बिंदु $(5, 4)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1 \cdot (x - 5)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

चरण 2.3.1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.4.1

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

चरण 2.3.1.4.2

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$y - 4 = - x + 5$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y = - x + 5 + 4$

चरण 2.3.2.2

$5$ और $4$ जोड़ें.

$y = - x + 9$

चरण 3