कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

चरण 1

$\frac{1}{x^{3}}$ और $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$1 - \frac{1}{x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \frac{1}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.6

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.6.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.10

$1$ में से $4$ घटाएं.

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.11

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.1.3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

चरण 2.1.3.13

$2 x^{- 3}$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 2 x^{- 3}$

चरण 2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

चरण 2.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 2.1.4.2.2

$0$ और $\frac{2}{x^{3}}$ जोड़ें.

$\frac{2}{x^{3}}$

चरण 2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4

$\sqrt{u_{2}}$ को ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ को $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 - \frac{1}{x^{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$