कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{e^{3 x}}{1 + e^{3 x}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = 1 + e^{3 x}$ .फिर $d u_{2} = 3 e^{3 x} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = e^{3 x} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = 1 + e^{3 x}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 + e^{3 x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{3 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

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चरण 1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$0 + e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.3.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 + e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + e^{3 x} (3 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + e^{3 x} \cdot 3$

चरण 1.1.3.5

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 3 e^{3 x}$

चरण 1.1.4

$0$ और $3 e^{3 x}$ जोड़ें.

$3 e^{3 x}$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

चरण 2.2

$3$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 5

सरल करें.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{3 x}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + e^{3 x} |) + C$