कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

चरण 1

u-प्रतिस्थापन का उपयोग करके यह अभिन्न पूरा नहीं किया जा सका. Mathway दूसरी विधि का उपयोग करेगा.

चरण 2

$x$ के संबंध में $\csc (x)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ है.

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

चरण 3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{3 π}{4}$ पर और $\frac{π}{4}$ पर $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\csc (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\sqrt{2}$ है.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

चरण 3.2.2

$\cot (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

चरण 3.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

चरण 3.2.4

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में व्युत्क्रम कोटिस्पर्शज्या ऋणात्मक है.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3.2

$\cot (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3.5.2

$\csc (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\sqrt{2}$ है.

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ लगभग $2.41421356$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ लगभग $0.41421356$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ को $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

चरण 4.2

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ को $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

चरण 4.3

FOIL विधि का उपयोग करके भाजक का प्रसार करें.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

चरण 4.4

सरल करें.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

चरण 4.5

$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

चरण 4.6

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ को $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

चरण 4.7

$\ln (\sqrt{2} + 1)$ और $\ln (\sqrt{2} + 1)$ जोड़ें.

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

दशमलव रूप:

$1.76274717 \dots$