कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3} - 6 x - 4}{x + 2} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x + 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3} - 6 (u - 2) - 4}{u} d u$

चरण 2

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} + \frac{- 6 (u - 2)}{u} + \frac{- 4}{u} d u$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

चरण 4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 5

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 6.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.2

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.3

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.4

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.5

$u$ ले जाएं.

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.6

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.7

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} - 6 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.8

$- 6$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.9

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u + 4 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 6.10

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 7

$u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8$ को $u$ से विभाजित करें.

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चरण 7.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$u$

$0$

$u^{3}$

$6 u^{2}$

$12 u$

$8$

चरण 7.2

भाज्य $u^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$

चरण 7.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			+	$u^{3}$	+	$0$

चरण 7.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u^{3} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$

चरण 7.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$

चरण 7.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

चरण 7.7

भाज्य $- 6 u^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

चरण 7.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					-	$6 u^{2}$	+	$0$

चरण 7.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 6 u^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$

चरण 7.10

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$

चरण 7.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

चरण 7.12

भाज्य $12 u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

चरण 7.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							+	$12 u$	+	$0$

चरण 7.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $12 u + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$

चरण 7.15

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$
									-	$8$

चरण 7.16

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int u^{2} - 6 u + 12 - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{2} d u + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 10

चूँकि $- 6$ बटे $u$ अचर है, $- 6$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 \int u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 12

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 13

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 14

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - \int \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 15

चूँकि $8$ बटे $u$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - (8 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 16

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 17

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 18

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - \int \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 19

चूँकि $6$ बटे $u$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - (6 \int \frac{u - 2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 20

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int \frac{u - 2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 21

$u - 2$ को $u$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$u$

$0$

$u$

$2$

चरण 21.2

भाज्य $u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$2$

चरण 21.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			+	$u$	+	$0$

चरण 21.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$

चरण 21.5

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$
					-	$2$

चरण 21.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int 1 - \frac{2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 22

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (\int d u + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 23

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 24

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 25

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - (2 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 26

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 27

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{4}{u} d u$

चरण 28

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{4}{u} d u$

चरण 29

चूँकि $4$ बटे $u$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - (4 \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 30

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 31

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 (\ln (| u |) + C)$

चरण 32

सरल करें.

$\frac{u^{3}}{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

चरण 33

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

चरण 34

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 34.1

$12 u$ में से $6 u$ घटाएं.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u - 8 \ln (| u |) + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

चरण 34.2

$- 8 \ln (| u |)$ और $12 \ln (| u |)$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 4 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

चरण 34.3

$4 \ln (| u |)$ में से $4 \ln (| u |)$ घटाएं.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 0 + C$

चरण 34.4

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + C$

चरण 35

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(x + 2)}^{3} - 3 {(x + 2)}^{2} + 6 (x + 2) + C$