कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

चरण 1

u-प्रतिस्थापन का उपयोग करके यह अभिन्न पूरा नहीं किया जा सका. Mathway दूसरी विधि का उपयोग करेगा.

चरण 2

मान लीजिए $x = \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 3

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

चरण 3.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 3.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 4

घातांक जोड़कर $\sec (t)$ को $\sec^{2} (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sec (t)$ को $\sec^{2} (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

चरण 4.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int \sec^{3} (t) d t$

चरण 5

$\sec^{3} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 6

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sec (t)$ और $d v = \sec^{2} (t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 7

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 8

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 10.2

$\tan^{2} (t)$ और $\sec (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 11

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

चरण 12

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 12.3

$\sec (t)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 13

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

चरण 14

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 16

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 17

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 18

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

चरण 19

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

चरण 20

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 21

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 22

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 23

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 23.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 24

$\int \sec^{3} (t) d t$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

चरण 25

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

चरण 26

सरल करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$