कैलकुलस उदाहरण

$\int (x + 1) \sqrt{2 x + x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x + x^{2}$ .फिर $d u = (2 x + 2) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 x + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + x^{2}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 + 2 x$

चरण 1.1.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x + 2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ को $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(2 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$