कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

चरण 1

u-प्रतिस्थापन का उपयोग करके यह अभिन्न पूरा नहीं किया जा सका. Mathway दूसरी विधि का उपयोग करेगा.

चरण 2

$t$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

चरण 3

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ है.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{4}$ और $\arctan (\frac{x}{4})$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

चरण 5.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ पर और $t$ पर $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 5.2.2

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 5.2.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

एक सामान्य भाजक का उपयोग करके भिन्नों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 6.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 6.1.2.2

$0$ में से $\arctan (\frac{t}{4})$ घटाएं.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 6.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 6.2

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

चरण 6.3

$\frac{1}{4}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

चरण 6.4

विषम घात वाले बहुपद की ऋणात्मक अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, ऋणात्मक अनंत है.

$- \frac{1}{4} - \infty$

चरण 6.5

$t$ को $\frac{t}{4}$ से प्रतिस्थापित करें और चूँकि $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ मान लें $t$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

चरण 6.6

$t$ जब $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, लिमिट का मान $- \frac{π}{2}$ होता है.

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

चरण 6.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

चरण 6.7.1.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 6.7.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{π}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

चरण 6.7.2.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{8}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{8}$

दशमलव रूप:

$0.39269908 \dots$