कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{4}{3}$ है.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.2.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.2.5.2

$4$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

चरण 1.1.1.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 1.1.1.3.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.1.1.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.1.1.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

चरण 1.1.1.3.6.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 1.1.1.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 1.1.1.3.8

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

चरण 1.1.1.3.9

$4$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.1.1.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.1.4

$\frac{4}{3}$ और $x^{\frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चूंकि $\frac{4}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.2

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.6.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.8

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.9

$\frac{4}{3}$ को $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.10

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

चूंकि $\frac{4}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

चरण 1.1.2.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{\frac{2}{3}}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

चरण 1.1.2.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

चरण 1.1.2.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{2}{3}}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

चरण 1.1.2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 1.1.2.3.5

घातांक को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 1.1.2.3.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 1.1.2.3.5.2.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 1.1.2.3.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 1.1.2.3.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

चरण 1.1.2.3.7

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

चरण 1.1.2.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

चरण 1.1.2.3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.9.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

चरण 1.1.2.3.9.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

चरण 1.1.2.3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

चरण 1.1.2.3.11

$\frac{2}{3}$ और $x^{- \frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

चरण 1.1.2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ और $x^{- \frac{4}{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

चरण 1.1.2.3.13

घातांक जोड़कर $x^{- \frac{1}{3}}$ को $x^{- \frac{4}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

चरण 1.1.2.3.13.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

चरण 1.1.2.3.13.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

चरण 1.1.2.3.13.4

$- 4$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

चरण 1.1.2.3.13.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

चरण 1.1.2.3.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{5}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

चरण 1.1.2.3.15

$\frac{4}{3}$ को $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

चरण 1.1.2.3.16

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

चरण 1.1.2.3.17

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ है.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

चरण 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

चरण 1.2.2.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 1.2.2.4

$9$ के गुणनखंड $3$ और $3$ हैं.

$3 \cdot 3$

चरण 1.2.2.5

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 1.2.2.6

$9, 9, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$3 \cdot 3$

चरण 1.2.2.7

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9$

चरण 1.2.2.8

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$x^{\frac{5}{3}}$

चरण 1.2.2.9

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $9$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

चरण 1.2.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ के प्रत्येक पद को $9 x^{\frac{5}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ के प्रत्येक पद को $9 x^{\frac{5}{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.2

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.3

$x^{\frac{2}{3}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.3.1

$x^{\frac{5}{3}}$ में से $x^{\frac{2}{3}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.4

$3$ को $3$ से विभाजित करें.

$4 x^{1} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.5

सरल करें.

$4 x - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.6

$9 x^{\frac{5}{3}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.6.1

$- \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.2.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x - 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1.1

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$4 x - 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

चरण 1.2.3.3.1.2

$0$ को $x^{\frac{5}{3}}$ से गुणा करें.

$4 x - 8 = 0$

चरण 1.2.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$4 x = 8$

चरण 1.2.4.2

$4 x = 8$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$4 x = 8$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

चरण 1.2.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

चरण 1.2.4.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{8}{4}$

चरण 1.2.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.3.1

$8$ को $4$ से विभाजित करें.

$x = 2$

चरण 2

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\sqrt[3]{x^{4}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$

चरण 2.1.2

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\sqrt[3]{x^{4}} + 4 \sqrt[3]{x^{1}}$

चरण 2.1.3

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\sqrt[3]{x^{4}} + 4 \sqrt[3]{x}$

चरण 2.2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, 2)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.4.2

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.4.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 4.5

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

$f'' (0) = Undefined$

चरण 4.6

अंतराल $(- \infty, 2)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- \infty, 2)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 5

अंतराल $(2, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f'' (4) = \frac{4}{9 {(4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके ${(4)}^{\frac{2}{3}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.1.2

घातांक जोड़कर $4$ को $4^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

$4$ को $4^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1.1

$4$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.1.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (4) = \frac{4^{1 - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.1.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3 - 2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.1.2.4

$3$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$ है.

$\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.3

अंतराल $(2, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (4)$ धनात्मक है.

$(2, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, 2)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(2, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 7