कैलकुलस उदाहरण

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = - \frac{x}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- \frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x}{2}$ से बदलें.

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

चरण 1.3.2

चूंकि $- \frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.3

$\frac{- 2}{2}$ और $\sin (- \frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.4

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.4.1

$- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.4.2.4

$- \sin (- \frac{x}{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

चरण 1.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (- \frac{x}{2})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूँकि $\sin (- \frac{x}{2})$ एक विषम फलन है, $\sin (- \frac{x}{2})$ को $- \sin (\frac{x}{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- - \sin (\frac{x}{2})$

चरण 1.4.2

$- - \sin (\frac{x}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \sin (\frac{x}{2})$

चरण 1.4.2.2

$\sin (\frac{x}{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$\sin (\frac{x}{2})$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{x}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.2.2

$\frac{1}{2}$ और $\cos (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.3

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

चरण 2.2.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

चरण 4

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

चरण 5

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{x}{2} = 0$

चरण 6

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 7

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$\frac{x}{2} = π - 0$

चरण 8

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

चरण 8.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 (π - 0)$

चरण 8.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 9

समीकरण का हल $\frac{x}{2} = 0$ .

$x = 0, 2 π$

चरण 10

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

चरण 11.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

चरण 11.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

चरण 11.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

चरण 11.1.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\cos (0)}{2}$

चरण 11.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2}$

चरण 12

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 13

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

चरण 13.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

चरण 13.2.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = - 2 \cos (0)$

चरण 13.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (0) = - 2 \cdot 1$

चरण 13.2.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (0) = - 2$

चरण 13.2.5

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$y = - 2$

चरण 14

$x = 2 π$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

चरण 15

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

चरण 15.1.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\cos (π)}{2}$

चरण 15.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{- \cos (0)}{2}$

चरण 15.2.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

चरण 15.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 1}{2}$

चरण 15.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2}$

चरण 16

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 17

$x = 2 π$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

व्यंजक में चर $x$ को $2 π$ से बदलें.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

चरण 17.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

चरण 17.2.1.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

चरण 17.2.2

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

चरण 17.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

चरण 17.2.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

चरण 17.2.4.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (2 π) = 2$

चरण 17.2.5

अंतिम उत्तर $2$ है.

$y = 2$

चरण 18

ये $f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, - 2)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(2 π, 2)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 19