कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

चरण 1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

चरण 4.2

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 4.3

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 4.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x^{- 2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\ln (x)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

चरण 6.2

$\frac{1}{x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

चरण 6.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

चरण 6.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

चरण 6.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

चरण 6.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

चरण 8.1.2

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

चरण 8.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

चरण 8.2.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

चरण 8.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ और $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ को मिलाएं.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

चरण 10.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$e$ पर और $1$ पर $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

चरण 10.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$\ln (1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

चरण 10.2.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

चरण 10.2.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

चरण 10.2.2.4

$- (- \ln (1) - 1)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e}{e}$ से गुणा करें.

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

चरण 10.2.2.5

$- (- \ln (1) - 1)$ और $\frac{e}{e}$ को मिलाएं.

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

चरण 10.2.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

चरण 10.2.2.7

$- e^{- 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e}{e}$ से गुणा करें.

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

चरण 10.2.2.8

$- e^{- 1}$ और $\frac{e}{e}$ को मिलाएं.

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

चरण 10.2.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

चरण 10.2.2.10

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

चरण 10.2.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

चरण 10.2.2.12

$1$ में से $1$ घटाएं.

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

चरण 10.2.2.13

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

चरण 10.2.2.14

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

चरण 10.2.2.15

$- 2$ और $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

चरण 10.2.2.16

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

चरण 11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

चरण 11.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

चरण 11.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

चरण 11.3.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

चरण 11.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

चरण 11.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

चरण 11.6

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

चरण 11.7

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

दशमलव रूप:

$- 0.52848223 \dots$