कैलकुलस उदाहरण

$x \cdot \sin (2 x)$

चरण 1

$x \cdot \sin (2 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x \cdot \sin (2 x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x \cdot \sin (2 x) d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 5.2

$x$ और $\frac{\cos (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 6

चूँकि $- \frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

चरण 8

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 9

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

चरण 11.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ को $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

चरण 13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

चरण 13.2.2

$\cos (2 x)$ और $\frac{x}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 15

गुणनखंडों को $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = x \cdot \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$