कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

चरण 1.2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

चरण 1.2.4.2

$2$ और $\frac{1}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

चरण 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.2

$x^{2} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.8

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

चरण 2.9

$2$ और $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.10.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 4.1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 4.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 4.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.1.2.2

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

चरण 4.1.2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

चरण 4.1.2.4.2

$2$ और $\frac{1}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

चरण 4.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ है.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x = 0$

चरण 5.3

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 5.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 9.1.2

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 9.1.3

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 9.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

चरण 9.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{1^{2}}$

चरण 9.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2}{1}$

चरण 9.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 10

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \ln ({(0)}^{2} + 1)$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = \ln (0 + 1)$

चरण 11.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f (0) = \ln (1)$

चरण 11.2.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (0) = 0$

चरण 11.2.4

अंतिम उत्तर $0$ है.

$y = 0$

चरण 12

ये $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, 0)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13