कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = \ln (y)$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , तो $y d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = \ln (y)$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\ln (y)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

चरण 1.1.2

$y$ के संबंध में $\ln (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{y}$ है.

$\frac{1}{y}$

चरण 1.2

$y$ के लिए $u_{1} = \ln (y)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (1)$

चरण 1.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$y$ के लिए $u_{1} = \ln (y)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (e)$

चरण 1.5

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = 1 + u_{1}$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{2} = 1 + u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$1 + u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $1 + u_{1}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 2.1.3

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 2.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 1 + u_{1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 2.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 1 + u_{1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 2.6

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 2.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 3

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

चरण 4

$2$ पर और $1$ पर $\ln (| u_{2} |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

चरण 5

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

चरण 6.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{2}{1})$

चरण 6.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (2)$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (2)$

दशमलव रूप:

$0.69314718 \dots$