कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + 3 x$ और $g (x) = 2 - x^{2}$ है.

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ है.

$\frac{(2 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [3 x]$ जोड़ें.

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.4

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(2 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.5

$3$ को $2 - x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{3 (2 - x^{2}) \cdot 1 - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.10

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.11

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.12

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.12.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 1 (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.12.2

$1 + 3 x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.14

$2$ को $1 + 3 x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 2 \cdot (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + (2 \cdot 1 + 2 (3 x)) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 (x \cdot x))}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.5

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 6 x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4.2

$- 3 x^{2}$ और $6 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{6 + 3 x^{2} + 2 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$