कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

चरण 1

$e^{- θ}$ और $\cos (2 θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (2 θ)$ और $d v = e^{- θ}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

चरण 3

चूँकि $- - 2$ बटे $θ$ अचर है, $- - 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

चरण 4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

चरण 4.3

$e^{- θ}$ और $\sin (2 θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (2 θ)$ और $d v = e^{- θ}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

चरण 6

चूँकि $- 1 \cdot 2$ बटे $θ$ अचर है, $- 1 \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

चरण 7

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

चरण 7.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

चरण 7.4

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

चरण 7.4.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

चरण 8

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ को $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ में से $e^{- θ}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$- \cos (2 θ) e^{- θ}$ में से $e^{- θ}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

चरण 9.2.1.2

$2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ में से $e^{- θ}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

चरण 9.2.1.3

$e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ में से $e^{- θ}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

चरण 9.2.2

$- \cos (2 θ)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

चरण 9.2.3

$2 \sin (2 θ)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

चरण 9.2.4

$- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

चरण 9.2.5

$- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ को $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

चरण 9.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$