कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{4 x^{5} + x^{2} + 4}{5 x^{2} - 2}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 4 x^{5} + x^{2} + 4$ और $g (x) = 5 x^{2} - 2$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + x^{2} + 4] - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{5} + x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{5}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.4

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + 0) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.7

$20 x^{4} + 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{2} - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.9

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.10

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.11

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.12

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + 0)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

$10 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 2.13.2

$10$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5} + x^{2} + 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) + (- 10 (4 x^{5}) - 10 x^{2} - 10 \cdot 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4} + 2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{5 \cdot 20 x^{2} x^{4} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.2.1

$x^{4}$ ले जाएं.

$\frac{5 \cdot 20 (x^{4} x^{2}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{5 \cdot 20 x^{4 + 2} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.2.3

$4$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{5 \cdot 20 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.3

$5$ को $20$ से गुणा करें.

$\frac{100 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{2} x - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.5

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.5.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{1 + 2} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.5.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.6

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.7

$20$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.8

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3

घातांक जोड़कर $x^{5}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x \cdot x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3.2

$x$ को $x^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x^{1} x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{1 + 5}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3.3

$1$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{6}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4

$4$ को $- 10$ से गुणा करें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.5

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x \cdot x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.5.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x^{1} x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{1 + 2} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.5.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.1.6

$- 10$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.2

$100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$10 x^{3}$ में से $10 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} + 0 - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.2.2

$100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.3

$100 x^{6}$ में से $40 x^{6}$ घटाएं.

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.3.4

$- 4 x$ में से $40 x$ घटाएं.

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.4

$60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$60 x^{6}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (15 x^{5}) - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$- 40 x^{4}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.4.3

$- 44 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.4.4

$4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3})$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

चरण 3.4.5

$4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3} - 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$