कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

चरण 1

$t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ को $t^{2} + 3 t$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

चरण 1.2

भाज्य $t^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $t^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $t^{3} + 3 t^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

चरण 1.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

चरण 1.7

भाज्य $2 t^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $t^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

चरण 1.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

चरण 1.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 t^{2} + 6 t + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

चरण 1.10

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

चरण 1.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

चरण 5

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$t^{2} + 3 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

चरण 5.1.1.2

$3 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

चरण 5.1.1.3

$t \cdot t + t \cdot 3$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

चरण 5.1.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

चरण 5.1.3

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $t (t + 3)$ होगा.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.4

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.5

$t + 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.5.2

$t + 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.1

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.6.1.2

$A (t + 3)$ को $1$ से विभाजित करें.

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.6.3

$3$ को $A$ के बाईं ओर ले जाएं.

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.6.4

$t + 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

चरण 5.1.6.4.2

$(B) (t)$ को $1$ से विभाजित करें.

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

चरण 5.1.7

$3 A$ ले जाएं.

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

चरण 5.2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों ओर के $t$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$1 = A + B$

चरण 5.2.2

उन पदों, जिनमें $t$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$1 = 3 A$

चरण 5.2.3

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

चरण 5.3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$A$ के लिए $1 = 3 A$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

समीकरण को $3 A = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 A = 1$

$1 = A + B$

चरण 5.3.1.2

$3 A = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

$3 A = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

चरण 5.3.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

चरण 5.3.1.2.2.1.2

$A$ को $1$ से विभाजित करें.

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

चरण 5.3.2

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{3}$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$A$ की सभी घटनाओं को $1 = A + B$ में $\frac{1}{3}$ से बदलें.

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.3

$B$ के लिए $1 = \frac{1}{3} + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

समीकरण को $\frac{1}{3} + B = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.3.2

$B$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{3}$ घटाएं.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.3.2.4

$3$ में से $1$ घटाएं.

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

चरण 5.3.5

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

चरण 5.4

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ और $B$ के मानों से बदलें.

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

चरण 5.5.2

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{t}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

चरण 5.5.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

चरण 5.5.4

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{t + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

चरण 8

$t$ के संबंध में $\frac{1}{t}$ का इंटीग्रल $\ln (| t |)$ है.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

चरण 9

चूँकि $\frac{2}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

चरण 10

मान लीजिए $u = t + 3$ . फिर $d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = t + 3$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$t + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

चरण 10.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ है.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

चरण 10.1.4

चूंकि $t$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 10.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 11

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

चरण 12

सरल करें.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $t + 3$ से बदलें.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$